सांख्यिकी में भिन्नता (उपयोग, परिभाषा और सूत्र)

भिन्नता या भिन्नता एक यादृच्छिक चर के फैलाव का एक उपाय है (मान जो यादृच्छिक रूप से प्राप्त होते हैं)। यह एक संख्या के माध्यम से, उक्त फैलाव की परिवर्तनशीलता को व्यक्त करने वाले आंकड़ों के क्षेत्र में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

रोनाल्ड फिशर, एक अंग्रेजी गणितज्ञ, भौतिक विज्ञानी, जीवविज्ञानी और सांख्यिकीविद्, 1918 में इस शब्द को पेश करने वाले पहले व्यक्ति थे। झगड़ा, बायोमेट्रिक्स पर उनके प्रकाशित अध्ययनों में से एक में। बदले में, उन्होंने विचरण के विश्लेषण पर अध्ययन की शुरुआत की।

भिन्नता क्या है?

झगड़ा एक नमूने या मूल्यों के एक सेट का, यह माध्य या माध्य के संबंध में वर्ग विचलन का योग है, यह सब अवलोकनों की कुल संख्या घटा 1 से विभाजित है।

सामान्य तौर पर, यह कहा जा सकता है कि विचरण मानक विचलन वर्ग है।

अर्थशास्त्र और वित्त के क्षेत्रों में, विचरण की व्याख्या उस जोखिम के रूप में की जाती है जो किसी प्रक्रिया में किया गया प्रतिफल अपेक्षित प्रतिफल से भिन्न होता है। आमतौर पर जब अधिक रिटर्न की उम्मीद की जाती है, तो बदले में जोखिम अधिक होता है।

परिक्षेपण के माप के रूप में प्रसरण

मानक विचलन के साथ विचरण, डेटा या अवलोकनों के फैलाव के उपाय हैं। इन आंकड़ों का फैलाव उस विविधता को इंगित करता है जो ये मौजूद हैं, अर्थात, यदि सभी मान a डेटा सेट समान हैं, तो कोई फैलाव नहीं है, लेकिन इसके बजाय, यदि सभी समान नहीं हैं तो फैलाव।

यह फैलाव बड़ा या छोटा हो सकता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि मान माध्य के कितने करीब हैं।

एक नमूने के प्रसरण को S. के रूप में दर्शाया गया है², जबकि जनसंख्या के विचरण को. के रूप में दर्शाया गया है².

एक नमूने के प्रसरण का उपयोग जनसंख्या के प्रसरण का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है, जो अक्सर अज्ञात होता है। यही कारण है कि स² इसे आमतौर पर एक आँकड़ा भी माना जाता है और² एक पैरामीटर के रूप में।

प्रसरण सूत्र

एक नमूने के प्रसरण का निम्न सूत्र है:

एस² =

जहां, प्रत्येक नमूना मान () और माध्य, चुकता के बीच घटाव के योग का प्रतिनिधित्व करता है।

बदले में, यह अवलोकनों की कुल संख्या या नमूना किए गए डेटा का प्रतिनिधित्व करता है। बहुत बड़े मूल्यों के लिए विचरण न्यूनतम या नगण्य भी है।

इसके बजाय, जनसंख्या के प्रसरण का निम्न सूत्र है:

σ² =

जहां एन कुल अवलोकन या नमूना डेटा का प्रतिनिधित्व करता है।

ज्यादातर मामलों में, यदि असंभव नहीं है, तो कुल एन डेटा प्राप्त करना बहुत मुश्किल है, उदाहरण के लिए, जब बात कर रहे हों जनसंख्या से व्यक्तियों, इन सभी व्यक्तियों का नमूना लेना संभव नहीं है, क्योंकि समय और संसाधनों का एक कारक है सीमित करना

यही कारण है कि आँकड़ों का उपयोग अक्सर जनसंख्या के मापदंडों का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है। इस सूत्र को लिखने के तरीके के अनुसार, प्रसरण की इकाइयों में चर की समान इकाइयाँ होती हैं, लेकिन वर्ग।

साथ ही, हम देखते हैं कि विचरण ऋणात्मक नहीं हो सकता है, इसलिए इसमें जो न्यूनतम मान प्राप्त किया जा सकता है वह शून्य है।

नमूने का मानक विचलन deviation

विचरण के विपरीत, मानक विचलन एक नमूने का प्रतिनिधित्व इस प्रकार है:

एस =

इस मामले में, यह माप नमूना चर की समान इकाइयों को प्रस्तुत करता है।

प्रसरण उदाहरण

विचरण की गणना करने के लिए, आपको पहले उपयोग किए गए डेटा के माध्य या औसत की गणना करनी होगी। दूसरी ओर, यदि आपके पास मानक विचलन है, तो आप केवल उस परिणाम को वर्गित करते हैं और विचरण प्राप्त करते हैं।

यहां यह समझने के लिए एक उदाहरण दिया गया है कि विचरण की गणना कैसे की जाती है और इसकी व्याख्या क्या हो सकती है।

मान लीजिए कि एक ही उद्यमी से संबंधित पांच अलग-अलग कंपनियों की वार्षिक आय है, जो हैं:

• कंपनी ए: $ 2,500
• कंपनी बी: ​​$ 1,800
• कंपनी सी: $ 2,300
• कंपनी डी: $ 3,000
• कंपनी ई: $ 2,700

फिर हम गणना करते हैं आधा राजस्व का, बस प्रत्येक आंकड़े को जोड़ना और इसे कंपनियों की कुल संख्या से विभाजित करना, जो परिणाम के रूप में देता है: $ 2,460।

डेटा	औसत	डेटा - औसत
डेटा 1	2500	2460	40	1600
डेटा 2	1800	2460	-660	435600
तथ्य 3	2300	2460	-160	25600
डेटा 4	3000	2460	540	291600
डेटा 5	2700	2460	240	57600
संपूर्ण	812000

जनसंख्या विचरण n से विभाजित, वर्ग औसत के साथ डेटा के अंतर का योग है, इस मामले में यह 5 है।

812000/5 = 203000

σ²=162400

इस परिणाम का वर्गमूल लेते हुए, हम मानक विचलन प्राप्त करते हैं, यह पांच कंपनियों के राजस्व के बीच $ 402 का अंतर है।

इस उपाय के अनुप्रयोग

फैलाव के माप के रूप में विचरण के विभिन्न क्षेत्रों में कई अनुप्रयोग हैं, इसकी कुछ उपयोगिताएँ हैं:

• एक निवेश के बारे में निर्णय लेने में सहायता का प्रतिनिधित्व करता है (एक निवेश में जोखिम के रूप में भी व्याख्या की जाती है)। यदि किसी निवेश के प्रतिफल का विचरण या संभाव्यता वितरण अधिक है, तो यह एक प्रतिकूल निवेश का संकेत दे सकता है।
• समय के साथ एक चर के व्यवहार का वर्णन, विश्लेषण और समझने के लिए।
• आपको डेटा के विभिन्न समूहों के बीच तुलना करने की अनुमति देता है।
• यह आपको विश्लेषण करने की अनुमति देता है कि सबसे अच्छा निर्णय क्या किया जा सकता है। यह विचरण के विश्लेषण के माध्यम से, उदाहरण के लिए, यह तय करना कि कौन सी विधि सबसे अच्छी शिक्षा का प्रतिनिधित्व करती है या यह तय करना कि कौन सा निवेश प्रति वर्ष उच्च आय का प्रतिनिधित्व करेगा।

निष्कर्ष

प्रसरणों के विश्लेषण में नमूने के दो या दो से अधिक साधनों के बीच महत्वपूर्ण अंतरों का अध्ययन किया जाता है। इस विश्लेषण को आमतौर पर एनोवा के रूप में जाना जाता है और हमें यह निर्धारित करने की अनुमति देता है कि क्या ये साधन a से आते हैं समान जनसंख्या (यह किसी कंपनी के कर्मचारियों की कुल संख्या हो सकती है), या यदि दो जनसंख्या के साधन हैं बराबरी का।

दूसरी ओर, विचरण और साथ ही मानक विचलन वे बाहरी लोगों के प्रति बहुत संवेदनशील होते हैं, ये ऐसे मूल्य हैं जो माध्य से बहुत दूर हैं या जो इससे बहुत अलग हैं।

ताकि ये उपाय इतने प्रभावित न हों, विश्लेषण और यहां तक ​​कि गणना करते समय इन बाहरी कारकों को नजरअंदाज किया जा सकता है। इन मामलों में अधिक उपयोगी फैलाव के अन्य उपायों को भी नियोजित किया जा सकता है।

किसी निवेश के जोखिम का विश्लेषण करने के मामले में, दो महत्वपूर्ण पहलुओं को ध्यान में रखा जाता है, एक निवेशित रिटर्न है और दूसरा निवेश किए गए निवेश के अनुसार अपेक्षित है। जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, इस जोखिम का विश्लेषण करने के लिए विचरण का उपयोग किया जा सकता है।